Question

1．如图所示，已知半圆的直径AB=2，点C在AB的延长线上，BC=1，点P为半圆上的一个动点，以DC为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值．

Answer 1

分析 设∠POB=θ，将面积表示为角的函数，再利用三角函数求最值的方法求最值．

解答 解：设∠POB=θ．在△POC中，由余弦定理得：PC²=OP²+OC²-2OP•OC•cosθ=5-4cosθ，
P（cosθ，sinθ），
所以S=S_△OPC+S_△PCD=$\frac{1}{2}×2×sinθ$+$\frac{\sqrt{3}}{4}（5-4cosθ）$=sin$θ-\sqrt{3}cosθ$$+\frac{5\sqrt{3}}{4}$=2sin（θ-$\frac{π}{3}$）+$\frac{5}{4}$$\sqrt{3}$，当θ-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$时，即θ=$\frac{5}{6}$π时，
四边形OPDC面积的最大值为 2+$\frac{5}{4}\sqrt{3}$．

点评 本题通过引进角，利用余弦定理求边长，从而构建函数，再求函数的最值．