Question

1．设函数f（x）=x²e^x
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若x∈[-2，2]时，不等式f（x）＜m恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函数的导数，通过解关于导函数的不等式，求出其单调区间即可；
（Ⅱ）先求出f（x）在[-1，2]上的单调性，从而求出函数的最大值，即可求m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=x（x+2）e^x，
令f′（x）＞0，解得：x＜-2或x＞0，
令f′（x）＜0，解得：-2＜x＜0，
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-2）和（0，+∞），递减区间为[-2，0]．…（6分）
（Ⅱ）

x	-2	（-2，0）	0	（0，2）	2
f′（x）			0	+
f（x）	$\frac{4}{{e}^{2}}$	单减	极小值0	单增	4e2

…（10分）
因此x∈[-2，2]，f（x）的最大值是4e²，
∵x∈[-2，2]时，不等式f（x）＜m恒成立，
∴m＞4e²…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，考查恒成立问题，是一道中档题．