Question

9．已知函数f（x）=xlnx+mx²-m在定义域内不存在极值点，则实数m的取值范围为（-∞，-$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 求导，根据题意可知导函数f′（x）不存在变号的零点，令f′（x）=0，则-2m=$\frac{lnx+1}{x}$，构造辅助函数g（x）=$\frac{lnx+1}{x}$，（x＞0），求导，利用导数求得函数的最大值，即可求得实数m的取值范围．

解答 解：f′（x）=lnx+1+2mx，
故函数f′（x）不存在变号的零点，
令f′（x）=0，即lnx+1+2mx=0，
则-2m=$\frac{lnx+1}{x}$，设g（x）=$\frac{lnx+1}{x}$，（x＞0），
g′（x）=$\frac{-lnx}{{x}^{2}}$，（x＞0），
令g′（x）=0，解得x=1，
当x在（0，1），g′（x）＞0，函数单调递增，
当x在（1，+∞），g′（x）＜0，函数单调递减，
∴当x=1函数g（x）取极大值，即函数的最大值，无最小值，
故想要f′（x）不存在变号的零点，即-2m≥1，即m≤-$\frac{1}{2}$，
则m的取值范围为（-∞，-$\frac{1}{2}$]．
故答案为：（-∞，-$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查利用导数求函数的单调性、极值及最值，着重考查恒成立问题，考查构造函数与方程的数学思想，属于中档题．