Question

13．定义在R上的函数f（x）的图象过点（0，5），其导函数是f′（x），且满足f′（x）＜1-f（x），则不等式e^xf（x）＞e^x+4（e为自然对数的底数）的解集为（-∞，0）．

Answer 1

分析 构造函数g（x）=e^xf（x）-e^x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解．

解答 解：设g（x）=e^xf（x）-e^x，（x∈R），
则g′（x）=e^xf（x）+e^xf′（x）-e^x=e^x[f（x）+f′（x）-1]，
∵f'（x）＜1-f（x），
∴f（x）+f′（x）-1＜0，
∴g′（x）＜0，
∴y=g（x）在定义域上单调递减，
∵e^xf（x）＞e^x+4，
∴g（x）＞4，
又∵g（0）=e⁰f（0）-e⁰=5-1=4，
∴g（x）＞g（0），
∴x＜0，
∴不等式的解集为（-∞，0）．
故答案为：（-∞，0）．

点评 本题考查函数的导数与单调性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．