Question

12．已知e是自然对数的底数，F（x）=2e^x-1+x+lnx，f（x）=a（x-1）+3
（1）设T（x）=F（x）-f（x），当a=1+2e^-1时，求证：T（x）在（0，+∞）上单调递增；
（2）若?x≥1，F（x）≥f（x），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导数，证明T′（x）＞0，即可证明结论；
（2）若?x≥1，F（x）≥f（x），则2e^x-1+x+lnx≥a（x-1）+3，求出左边的最小值，即可求实数a的取值范围．

解答 （1）证明：当a=1+2e^-1时，T（x）=F（x）-f（x）=2e^x-1+x+lnx-（1+2e^-1）（x-1）-3
T′（x）=2e^x-1+1+$\frac{1}{x}$-（1+2e^-1））=2e^x-1+$\frac{1}{x}$-2e^-1，
∵x＞0，∴T′（x）＞0，
∴T（x）在（0，+∞）上单调递增；
（2）解：若?x≥1，F（x）≥f（x），则2e^x-1+x+lnx≥a（x-1）+3
令y=2e^x-1+x+lnx，则y′=2e^x-1+1+$\frac{1}{x}$，
∵x≥1，∴y′=2e^x-1+1+$\frac{1}{x}$＞0，函数单调递增，
∴y≥3，
∴?x≥1，3≥a（x-1）+3
∴a（x-1）≤0
∵x≥1，∴a≤0．

点评 本题考查函数的单调性的证明，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．