已知函数f(x)=x3-tx2+3x.函数f上单调递减.则实数t的取值范围是[5.+∞)．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．已知函数f（x）=x³-tx²+3x，函数f（x）在区间（1，3）上单调递减，则实数t的取值范围是[5，+∞）．

分析由题意可得f′（x）≤0即3x²-2tx+3≤0在（1，3）上恒成立，由二次函数的性质可得不等式组的解集．

解答解：∵函数f（x）=x³-tx²+3x，
∴f′（x）=3x²-2tx+3，
若函数f（x）=x³-tx²+3x在区间（1，3）上单调递减，
则f′（x）≤0即3x²-2tx+3≤0在（1，3）上恒成立，
∴t≥$\frac{3}{2}$（x+$\frac{1}{x}$）在（1，3）上恒成立，
令y=$\frac{3}{2}$（x+$\frac{1}{x}$），由对勾函数的图象和性质可得：函数在（1，2）上单调递减，（2，3）为增函数，
当x=3时，函数取最大值5，
∴t≥5，
即实数t的取值范围是[5，+∞），
故答案为：[5，+∞）．

点评本题主要考查函数的单调性和导数符号间的关系，二次函数的性质，属于中档题．

练习册系列答案

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16．

如图所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，O，D，E分别是棱AB，A₁B₁，AA₁的中点，点F在棱AB上，且AF=$\frac{1}{4}$AB，AB=BC=CA=AA₁，且侧棱AA₁⊥平面ABC．
（1）求证：EF∥平面BCD；
（2）求二面角C-BC₁-D的余弦值．

17．在平面直角坐标系xOy中有不共线三点P（a₁，b₁），A（a₂，b₂），B（a₃，b₃）．实数λ，μ满足λ+μ=λμ≠0，则以P为起点的向量$λ\overrightarrow{PA}$，$μ\overrightarrow{PB}$的终点连线一定过点（　　）

	A．	（a₂+a₃-a₁，b₂+b₃-b₁）		B．	（b₂+b₃-b₁，a₂+a₃-a₁）
	C．	（a₂+a₃-2a₁，b₂+b₃-2b₁）		D．	（b₂+b₃-2b₁，a₂+a₃-2a₁）

14．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C₁：（x-3）²+（y-2）²=1，曲线C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），曲线C₃：ρ（cosθ-2sinθ）=7．
（1）以t为参数将C₁的方程写成含t的参数方程，化C₂的方程为普通方程，化C₃的方程为直角坐标方程；
（2）若Q为C₂上的动点，求点Q到曲线C₃的距离的最大值．

1．设函数f（x）=x²e^x
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若x∈[-2，2]时，不等式f（x）＜m恒成立，求m的取值范围．

11．已知函数f（x）=|ax+1|，a∈R．
（Ⅰ）若?x∈R，f（x）+f（x-2）≥1恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若f（$\frac{a-1}{a}$）+f（$\frac{b-1}{a}$）+f（$\frac{c-1}{a}$）=4，求f（$\frac{{{a^2}-1}}{a}$）+f（$\frac{{{b^2}-1}}{a}$）+f（$\frac{{{c^2}-1}}{a}$）的最小值．

18．

已知函数f（x）=x³+bx²+cx+d的图象如图，则函数y=lnf′（x）的单调减区间为（　　）

15．已知函数f（x）=ax⁴•lnx+bx⁴-c在x=1处取得极值-3-c．
（1）试求实数a，b的值；
（2）试求函数f（x）的单调区间；
（3）若对任意x＞0，不等式f（x）≥-2c²恒成立，求实数c的取值范围．

16．已知曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=$\frac{π}{6}$（ρ∈R）．
（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；
（Ⅱ）求直线l被曲线C截得的线段长．

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