Question

公比为正的等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且2a₁+a₂=a₃，S₃+2=a₄．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=log₂a_n，数列{

1

b nb n+1

}的前n项和为Tn，求T₂₀₁₃的值．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件利用等比数列的通项公式和前n项和公式求出首项和公比，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由（1）知b_n=log₂a_n=n，

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由此利用错位相减法能求出T₂₀₁₃的值．

解答： 解：（1）由题意得2a1+a1q=a1q2，
∴q²-q-2=0，又q＞0，
解得q=2，
又S₃+2=a₄，∴

a1(1-23)

1-2

+2=a1•23，
解得a₁=2，
∴an=2×2n-1=2ⁿ．
（2）由（1）知b_n=log₂a_n=n，
∴

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

，
∴T₂₀₁₃=

2013

2014

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前2013项的和的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．