Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD．PA=AB=2，∠BAD=120°，E是PC上的一点，且BE与平面PAB所成角的正弦值为

3

4

．
（1）证明：E为PC的中点；
（2）求二面角A-BE-C的大小．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）设对角线交点为O，以O为原点，OC、OD、OP分别为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能证明E为PC的中点．
（2）求出平面ABE的一个法向量和平面BEC的一个法向量，利用向量法能求出二面角A-BE-C的大小．

解答： （1）证明：∵ABCD为菱形，∴AC⊥BD，
设对角线交点为O，由平面几何知识知：AC=2，BD=2

3

．
以O为原点，OC、OD、OP分别为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系O-xyz
则A(1，0，0)、B(0，-

3

，0)C(1，0，0)P(-1，0，2)…（2分）
∴

AB

=(1，-

3

，0)，

AP

=(0，0，2)，
设平面PAB的一个法向量

m

=(x，y，z)，

AB • m =0 AP • m =0

⇒

x- 3 y=0 2z=0

⇒

m

=(

3

，1，0)．…（3分）
设

PE

=λ

EC

(λ＞0)，则E(

λ-1

λ+1

，

3

，

2

λ+1

)，
∴

BE

=(

λ-1

λ+1

，

3

，

2

λ+1

)
由已知

3

4

=|cos＜

m

，

BE

＞|=

| BE • m |

| BE || m |

．…（4分）
即

3

4

=

| 3 λ- 3 λ+1 + 3 |

( λ-1 λ+1 )2+( 3 )2+( 2 λ+1 )2 ×2

解得：λ=1或λ=-2（舍去）…（5分）
即E为PC的中点．…（6分）
（2）解：由（1）知

BE

=(0，

3

，1)，又

AB

=(1，-

3

，0)，
设平面ABE的一个法向量

n1

=(x1，y1，z1)，
则

BE • n1 =0 AB • n1 =0

⇒

3 y1+z1=0 x1- 3 y1=0

⇒

n1

=(

3

，1，-

3

)…（8分）
又

BC

=(1，

3

，0)，
设平面BEC的一个法向量

n2

=(x2，y2，z2)
则

BE • n2 =0 BC • n2 =0

⇒

3 y2+z2=0 x2- 3 y2=0

⇒

n2

=(

3

，-1，

3

)…（10分）
∴|cos＜

n1

，

n2

＞|=

| n1 • n2 |

| n1 || n2 |

=

| 3 × 3 +1×(-1)+(- 3 )× 3 |

7 × 7

=

1

7

…（11分）
又∵二面角A-BE-C为钝角，
∴二面角A-BE-C的大小为arccos(-

1

7

)．…（12分）

点评：本题考查点是线段中点的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．