Question

已知函数f（x）=x³+ax+b，a，b∈R的图象记为曲线E，过一点A（

1

2

，-

3

8

）作曲线E的切线，这样的切线有且仅有两条．
（Ⅰ）求a+2b的值；
（Ⅱ）若点A在曲线E上，对任意的x∈[0，1]，求证：f（x）+|a+3b+1|+

1

2

≥0．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）设出切点，求出导数，根据斜率相等列出方程，由条件知方程有且只有两个实根，构造一个函数，即只要函数的两个极值中有一个为0，即可得到答案；
（Ⅱ）分类讨论，去掉绝对值符号，构造函数，确定函数的单调性，求出函数的最值，即可证明结论．

解答： （I）解：∵f（x）=x³+ax+b，a，b∈R，
∴f'（x）=3x²+a
设切点为（x₀，y₀），
则切线方程为y-y0=(3

x

2 0

+a)(x-x0)，
将点A(

1

2

，-

3

8

)代入得-

3

8

-y0=(3

x

2 0

+a)(

1

2

-x0)可化为16

x

3 0

-12

x

2 0

-4a-8b-3=0．
设g（x）=16x³-12x²-4a-8b-3，
∵g'（x）=48x²-24x，
∴y=g（x）的极值点为0，

1

2

，
∵过点A(

1

2

，-

3

8

)作曲线E的切线，这样的切线有且仅有两条，
∴g(0)=0或g(

1

2

)=0，
∴a+2b=-

3

4

或a+2b=-1
（Ⅱ）证明：∵点A在曲线E上，
∴a+2b=-1f(x)+|b|+

1

2

=x3+ax+b+|b|+

1

2

当b≤0时，左边=x3+ax+

1

2

=x3+(-1-2b)x+

1

2

令函数h(x)=x3+(-1-2b)x+

1

2

(0≤x≤1)，∵h'（x）=3x²-（1+2b）
当1+2b≤0时h'（x）≥0，函数y=h（x）在[0，1]上单调递增，h(x)≥h(0)=

1

2

≥0
当1+2b＞0即0＞b＞-

1

2

时，由h'（x）＞0得x＞

2b+1 3

∴函数y=h（x）在[0，

2b+1 3

]上单调递减，在[

2b+1 3

，1]上单调递增，
∴h(x)≥h(

2b+1 3

)=

2b+1

3

2b+1 3

-(2b+1)

2b+1 3

+

1

2

=-

2(2b+1)

3

2b+1 3

+

1

2

≥-

2

3

1 2

+

1

2

＞0；
当b＞0时，左边=x3+(-1-2b)x+2b+

1

2

，
令函数k(x)=x3+(-1-2b)x+2b+

1

2

(0≤x≤1)，
∵k'（x）=3x²-（-1-2b），由k'（x）＞0得x＞

2b+1 3

当

2b+1 3

≥1时，即b≥1时，函数y=k（x）在[0，1]上单调递减，k(x)≥k(1)=

1

2

≥0
当0＜b＜1时，函数y=k（x）在[0，

2b+1 3

]上单调递减，在[

2b+1 3

，1]上单调递增k(x)≥k(

2b+1 3

)=-

2(2b+1)

3

2b+1 3

+(2b+1)-

1

2

令函数m(b)=-

2(2b+1)

3

2b+1 3

+(2b+1)-

1

2

设

2b+1 3

=t∈(

3

3

，1)，m(t)=-2t3+3t2-

1

2

在(

3

3

，1)上单调递增，
∴m(t)＞m(

3

3

)＞0
综上所述：f(x)+|a+3b+1|+

1

2

≥0．

点评：本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，正确构造函数是关键．