Question

10．已知无穷数列{a_n}满足：a₁=2015^-1，a_n²-2a_n+2a_n-1=0，（n≥2）．
（Ⅰ）试判断数列{a_n}的单调性，并说明理由；
（Ⅱ）求证：（i）0≤a_n≤$\frac{1}{2}$；
（ii）$\frac{1}{2-{a}_{1}}$+$\frac{1}{2-{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{2-{a}_{n}}$≤2015．

Answer 1

分析 （Ⅰ）数列{a_n}单调递增．由a_n-a_n-1=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{2}$＞0，即可得到结论；
（Ⅱ）（i）运用配方，结合数列的单调性，即可得证；
（ii）由$\frac{1}{2-{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}-{{a}_{n}}^{2}}$=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n-1}}$=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{2{a}_{n}{a}_{n-1}}$=$\frac{2{a}_{n}-2{a}_{n-1}}{2{a}_{n}{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{{a}_{n-1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$，n≥2．运用裂项相消求和和不等式的性质，即可得证．

解答 解：（Ⅰ）数列{a_n}单调递增．
理由如下：由a_n²-2a_n+2a_n-1=0，可得
a_n-a_n-1=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{2}$＞0（n≥2），
即为a_n＞a_n-1，则数列{a_n}单调递增；
（Ⅱ）（i）证明：由上面可得a_n≥a₁=$\frac{1}{2015}$＞0，
又a_n²-2a_n+2a_n-1=0，即为（a_n-1）²=1-2a_n-1，
即有（a_n+1-1）²=1-2a_n≥0，即a_n≤$\frac{1}{2}$，
即有0≤a_n≤$\frac{1}{2}$；
（ii）$\frac{1}{2-{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}-{{a}_{n}}^{2}}$=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n-1}}$=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{2{a}_{n}{a}_{n-1}}$
=$\frac{2{a}_{n}-2{a}_{n-1}}{2{a}_{n}{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{{a}_{n-1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$，n≥2．
即有原式=$\frac{1}{2-{a}_{1}}$+（$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{2}}$）+（$\frac{1}{{a}_{2}}$-$\frac{1}{{a}_{3}}$）+…+（$\frac{1}{{a}_{n-1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$）
=$\frac{1}{2-{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2015+$\frac{{a}_{n}-（2-{a}_{1}）}{（2-{a}_{1}）{a}_{n}}$，
由1＜2-a₁＜2，0≤a_n≤$\frac{1}{2}$，
可得a_n-（2-a₁）＜0，即有2015+$\frac{{a}_{n}-（2-{a}_{1}）}{（2-{a}_{1}）{a}_{n}}$＜2015．
则$\frac{1}{2-{a}_{1}}$+$\frac{1}{2-{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{2-{a}_{n}}$≤2015．

点评 本题考查数列的单调性的判断和运用，注意运用单调性的定义，考查不等式的证明，注意运用裂项相消求和和不等式的性质，属于难题．