Question

13．已知椭圆x²+2y²=12，A是x轴正方向上的一定点，若过点A，斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为$\frac{{4\sqrt{14}}}{3}$，求点A的坐标．

Answer 1

分析 设A（x₀，0）（x₀＞0），则直线l的方程为y=x-x₀，设出直线方程，设直线l与椭圆相交于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）两点，借助于韦达定理，从而可求得x₀的值

解答 解：设A（x₀，0）（x₀＞0），则直线l的方程为y=x-x₀，
设直线l与椭圆相交于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）两点，
由y=x-x₀可得3x²-4x₀x+2x₀²-12=0，
由根与系数的关系，有x₁+x₂=$\frac{4{x}_{0}}{3}$，x₁x₂=$\frac{{2x}_{0}^{2}-12}{3}$，
则|x₁-x₂|=$\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$=$\sqrt{\frac{16x_0^2}{9}-\frac{8x_0^2-48}{3}}=\frac{2}{3}\sqrt{36-2x_0^2}$．
所以$\frac{{4\sqrt{14}}}{3}=\sqrt{1+{k^2}}•|{x_1}-{x_2}|$，
即$\frac{{4\sqrt{14}}}{3}$=$\sqrt{2}•\frac{2}{3}$•$\sqrt{36-2x_0^2}$．
所以$x_0^2=4$．
又x₀＞0，所以x₀=2，
所以A（2，0）．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系与弦长问题，难点在于弦长公式的灵活应用，属于中档题．