Question

如图，在△ABC中，∠B=45°，AC=

10

，cos∠C=

2 5

5

，点D是AB的中点，求：
（1）边AB的长；
（2）cosA的值和中线CD的长．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）由cosC的值大于0，得到C为锐角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，再由AC，sinC，以及sinB的值，利用正弦定理即可求出AB的长；
（2）由B的度数，利用内角和定理表示出A的度数，求出cosA的值，再由AC，AD，cosA的值，利用余弦定理即可求出CD的长．

解答： 解：（1）由cosC=

2 5

5

＞0可知，∠C是锐角，
∴sinC=

1-cos2C

=

1-( 2 5 5 )2

=

5

5

，
由正弦定理

AC

sinB

=

AB

sinC

得：AB=

ACsinC

sinB

=

10 × 5 5

2 2

=2；
（2）∵∠B=45°，∴A=180°-45°-C，
∴cosA=cos（180°-45°-C）=cos（135°-C）=

2

2

（-cosC+sinC）=

2

2

×（-

2 5

5

+

5

5

）=-

10

10

，
由AD=

1

2

AB=1，根据余弦定理得：CD²=AD²+AC²-2AD•ACcosA=1+10-2×1×

10

×（-

10

10

）=13，
则CD=

13

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．