Question

8．已知函数f（x）=x²+2ax+2，x∈[-5，5]
（Ⅰ）若y=f（x）在[-5，5]上是单调函数，求实数a取值范围．
（Ⅱ）求y=f（x）在区间[-5，5]上的最小值．

Answer 1

分析 先求出函数f（x）的对称轴，（1）根据函数的单调性求出a的范围即可；（2）通过讨论a的范围，结合函数的单调性求出函数的最小值即可．

解答 解：函数f（x）=x²+2ax+2，x∈[-5，5]的对称轴为x=-a，-----------（1分）
（1）若y=f（x）在[-5，5]上是单调函数，
则-a≤-5或-a≥5，即a≤-5或a≥5．-----------（3分）
（2）①-a≤-5，即a≥5时，f（x）在[-5，5]上单调递增，
f（x）的最小值是f（-5）=27-10a，----（5分）
②-a≥5，即a≤-5时，f（x）在[-5，5]上单调递减，
f（x）的最小值是f（5）=27+10a-----------（7分）
③-5＜-a＜5，即-5＜a＜5时，f（x）在[-5，-a]上单调递减，f（x）在（-a，5]上单调递增，
f（x）的最小值是f（-a）=-a²+2-----------（10分）

点评 本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，是一道中档题．