Question

1．过椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$内一点M（l，l）的直线l交椭圆于两点，且M为线段AB的中点，则直线l的方程为3x+4y-7=0．

Answer 1

分析 通过直线l过点M（1，1）可设其方程为x=m（y-1）+1，并与椭圆方程联立，利用韦达定理及中点坐标公式计算即得结论．

解答 解：依题意，设直线l方程为：x=m（y-1）+1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=m（y-1）+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去x整理得：
（4+3m²）y²-6m（m-1）y+3m²-6m-9=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=$\frac{6m（m-1）}{4+3{m}^{2}}$，
∵且线段AB的中点为M（1，1），
∴$\frac{6m（m-1）}{4+3{m}^{2}}$=2，即m=-$\frac{4}{3}$，
∴直线l方程为x=-$\frac{4}{3}$（y-1）+1，即3x+4y-7=0，
故答案为：3x+4y-7=0．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．