题目内容
如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD．（1）求证：平面PAC⊥平面PBD；
（2）求PC与平面PBD所成角的大小；
（3）在线段PB上找出一点E，使得PC⊥平面ADE，并求出此时二面角A-ED-B的大小．
考点：二面角的平面角及求法
专题：空间位置关系与距离,空间角
分析：（1）由线面垂直得AC⊥PD，由正方形性质得AC⊥BD，由此能证明平面PAC⊥平面PBD．
（2）记AC与BD相交于O，连结PO，由已知条件得∠CPO就是PC与平面PBD所成的角，由此能求出PC与平面PBD所成的角为30°．
（3）分别以DA，DC，DP为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，根据PC⊥平面ADE，确定E的位置，求出满足条件的平面ADE与平面BDE的法向量，代入向量夹角公式，即可求出此时二面角A-DE-B的大小．
（2）记AC与BD相交于O，连结PO，由已知条件得∠CPO就是PC与平面PBD所成的角，由此能求出PC与平面PBD所成的角为30°．
（3）分别以DA，DC，DP为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，根据PC⊥平面ADE，确定E的位置，求出满足条件的平面ADE与平面BDE的法向量，代入向量夹角公式，即可求出此时二面角A-DE-B的大小．
解答：
（1）证明：∵PD⊥底面ABCD，AC?底面ABCD，
∴AC⊥PD，
又∵底面ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，而PD与BD交于点D，
∴AC⊥平面PBD，
又AC?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面PBD．
（2）解：记AC与BD相交于O，连结PO，
由（1）知，AC⊥平面PBD，
∴PC在平面PBD内的射影是PO，
∴∠CPO就是PC与平面PBD所成的角，
∵PD=AD，
∴在Rt△PDC中，PC=CD，
而在正方形ABCD中，OC=AC=CD，
∴在Rt△POC中，有∠CPO=30°．
即PC与平面PBD所成的角为30°．
（3）解：分别以DA，DC，DP为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，
设PD=AD=1，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0）
假设在线段PB上存在一点E使得PC⊥平面ADE，
设 BE=λ EF，则E（
，
，
）
又∵
=（0，1，-1），
=（
-1，
，
）且
⊥
，
∴
•
=0，
即
-
=0，
解得：λ=1，此时E为PD的中点，
又∵PC⊥AD，
∴当点E为PB的中点时，PC⊥平面ADE
∵此时平面ADE的法向量为
=（0，1，-1），
由（I）知平面BDE的法向量为
=（1，1，0）
则cos＜
，
＞=
=
，
∴＜
，
＞=60°
故此时二面角的大小为60°
∴AC⊥PD，
又∵底面ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，而PD与BD交于点D，
∴AC⊥平面PBD，
又AC?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面PBD．
（2）解：记AC与BD相交于O，连结PO，
由（1）知，AC⊥平面PBD，
∴PC在平面PBD内的射影是PO，
∴∠CPO就是PC与平面PBD所成的角，
∵PD=AD，
∴在Rt△PDC中，PC=CD，
而在正方形ABCD中，OC=AC=CD，
∴在Rt△POC中，有∠CPO=30°．
即PC与平面PBD所成的角为30°．
（3）解：分别以DA，DC，DP为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，
设PD=AD=1，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0）
假设在线段PB上存在一点E使得PC⊥平面ADE，
设 BE=λ EF，则E（
| 1 |
| 1+λ |
| 1 |
| 1+λ |
| λ |
| 1+λ |
又∵
| PC |
| AE |
| 1 |
| 1+λ |
| 1 |
| 1+λ |
| λ |
| 1+λ |
| PC |
| AE |
∴
| PC |
| AE |
即
| 1 |
| 1+λ |
| λ |
| 1+λ |
解得：λ=1，此时E为PD的中点，
又∵PC⊥AD，
∴当点E为PB的中点时，PC⊥平面ADE
∵此时平面ADE的法向量为
| PC |
由（I）知平面BDE的法向量为
| AC |
则cos＜
| PC |
. |
| AC |
| ||||
|
|
| 1 |
| 2 |
∴＜
| PC |
. |
| AC |
故此时二面角的大小为60°
点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，平面与平面垂直的判定，二面角的平面角及求法，熟练掌握空间中直线与平面垂直及平面与平面垂直的判定定理，二面角的求解一般是建立空间坐标系，将空间中直线与平面的垂直关系及二面角问题，转化为向量夹角问题．
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