Question

设函数f（x）=mlnx+

1

x

-x，g（x）=

1

m

lnx．
（1）当x≥1时，总有f（x）≤0，求m的取值范围；
（2）当m∈[3，+∞）时，曲线F（x）=f（x）+g（x）上总存在相异两点A（x₁，f（x₁））、B（x₂，f（x₂）），使得曲线F（x）在点A、B处的切线互相平行，求x₁+x₂的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）求函数的导数，利用函数的导数和单调性之间的关系即可m的取值范围；
（2）求函数的导数，根据导数的几何意义，结合基本不等式的性质即可得到结论．

解答： 解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），函数的导数为f′（x）=

m

x

-

1

x2

-1=-

1

x2

(x2-mx+1)，
令h（x）=x²-mx+1，（x≥1）
当m≤2时，h（x）≥0，f′（x）＜0，f（x）在区间（0，+∞）上是减函数f（x）≤f（1）=0，成立；
当m＞2时，h（x）=0有两根，不妨设x₁＜x₂，
∵h（1）=2-m＜0，∴x₁＜1＜x₂，
∴由f′（x）＞0可得x₁＜x＜x₂，
当x∈[1，x₂）时，h（x）=x²-mx+1＜0，此时f′（x）＞0，
∴当m＞2时，当x∈[1，+∞），f（x）＞f（1）=0，不满足条件，
综上m的取值范围；是（-∞，2]．
（2）由题意可得F′（x₁）=F′（x₂），x₁＞0，x₂＞0，x₁≠x₂，
即

m+ 1 m

x1

-

1

x12

-1=

m+ 1 m

x2

-

1

x22

-1，
∴x₁+x₂=（m+

1

m

）x₁x₂，
∵x₁≠x₂，
由基本不等式可得x₁+x₂=（m+

1

m

）x₁x₂＜（

x1+x2

2

）²恒成立，
即x₁+x₂＞

4

m+ 1 m

，在m∈[3，+∞）时恒成立，
∵m+

1

m

在m∈[3，+∞）上是增函数，
∴m+

1

m

≥3+

1

3

=

10

3

，
∴

4

m+ 1 m

≤

4

10 3

=

6

5

，
∴x₁+x₂＞

6

5

，
即x₁+x₂的取值范围是（

6

5

，+∞）．

点评：本题主要考查导数的应用，利用函数单调性，切线斜率和导数的关系是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．