Question

20．已知2S_n=na_n+2（n≥2），a₂=2，求a_n的通项公式．

Answer 1

分析 由已知结合数列递推式求首项，再由数列递推式得当n≥2时，有2S_n-1=（n-1）a_n-1+2，与原数列递推式作差可得（n-2）a_n=（n-1）a_n-1，进一步得到当n≥3时，有$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n-1}{n-2}$，然后利用累积法求得a_n的通项公式．

解答 解：由2S_n=na_n+2，得2S₂=2（a₁+a₂）=2a₂+2，解得a₁=1；
当n≥2时，有2S_n-1=（n-1）a_n-1+2，
两式作差可得：2a_n=na_n-（n-1）a_n-1 （n≥2），
即（n-2）a_n=（n-1）a_n-1，
∴当n≥3时，有$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n-1}{n-2}$，
∴$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}=\frac{2}{1}$，$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}=\frac{3}{2}$，$\frac{{a}_{5}}{{a}_{4}}=\frac{4}{3}$，…，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n-1}{n-2}$，
以上n-2个式相乘得，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{2}}$=n-1，
∴a_n=2n-2，
当n=2时a₂=2符合上式，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{2n-2，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列递推式，考查了累积法求数列的通项公式，是中档题．