Question

15．构造如图所示的数表，规则如下：先排两个1作为第一层，然后在每一层的相邻两个数之间插入这两个数和的a倍得下一层，其中a＞0，设n层中有a_n个数，这a_n个数的和为S_n（n∈N^*）．
（1）求a_n；
（2）求S_n．

Answer 1

分析 （1）确定a_n+1-1=2（a_n-1），再求a_n，（2）构造S_n+1-1=（2a+1）（S_n-1），写出等比数列的公比和首项，求出S_n．

解答 解：（1）由题意可知，a₁=2，a_n+1=a_n+（a_n-1）=2a_n-1，
∴a_n+1-1=2（a_n-1），则${a}_{n}-1=（{a}_{1}-1）•{2}^{n-1}$，
∴${a}_{n}={2}^{n-1}+1$；
（2）S₁=2，S_n+1=S_n+2aS_n-2a=（2a+1）S_n-2a，
∴S_n+1-1=（2a+1）（S_n-1），
∴${S}_{n}-1=（2a+1）^{n-1}$，
${S}_{n}=（2a+1）^{n-1}+1$．

点评 本题考查学生的观察能力，构造法求通项，属于中档题．