Question

已知a为正实数，函数f（x）=ax³-

3

2

（a+2）x²+6x-3
（1）当a=1时，求函数f（x）的极小值；
（2）试讨论曲线y=f（x）与x轴的公共点的个数．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,分类讨论,导数的综合应用

分析：（1）求出f（x）的表达式，并求导数，解不等式，求出增区间和减区间，从而得到极小值；
（2）求出导数，求出极值点，讨论a的范围：0＜a＜2，a=2，a＞2求出单调区间和极值，从而判断f（x）的图象与x轴的交点个数．

解答： 解：（1）当a=1时，函数f(x)=x3-

9

2

x2+6x-3，
f′（x）=3x²-9x+6=3（x-1）（x-2），
∴当x＜1或x＞2时，f′（x）＞0；当1＜x＜2时，f'（x）＜0．
∴f（x）在（-∞，1），（2，+∞）内单调递增，在（1，2）内单调递减．
故f（x）的极小值为f（2）=-1．
（2）f′(x)=3ax2-3(a+2)x+6=3a(x-

2

a

)(x-1)
令f′（x）=0，即3a(x-

2

a

)(x-1)=0，有x1=

2

a

，x2=1，
①若0＜a＜2，则

2

a

＞1．
∴当x＜1或x＞

2

a

时，f′（x）＞0，当

2

a

＜x＜1时，f′（x）＜0，极大值f(1)=-

1

2

＜0，
∴f（x）的图象与x轴只有一个交点；                             
②若a=2，则f′（x）=6（x-1）²≥0
∴f（x）的图象与x轴只有一个交点；
③当a＞2，由（1）知f（x）的极大值为f(

2

a

)=-4(

1

a

-

3

4

)2-

3

4

＜0，
∴f（x）的图象与x轴只有一个交点；  
综上所述，若a＞0，f（x）的图象与x轴只有一个公共点．

点评：本题考查函数的导数的综合应用：求单调区间和求极值，考查函数的零点个数与极值的关系，同时考查分类讨论的思想方法，属于中档题．