Question

设x，y∈R，

i

，

j

分别为直角坐标系中与x轴、y轴正半轴同方向的单位向量，若向量

a

=x

i

+（y+2）

j

，

b

=x

i

+（y-2）

j

，且|

a

|+|

b

|=8．
（Ⅰ）求点M（x，y）的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设抛物线y=-

x2

12

+3的顶点为P，直线l过点P与曲线C交于A，B两点，是否存在这样的直线l，使得以AB为直径的圆过原点，若存在，求出直线方程；若不存在，请说明理由？

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,平面向量数量积的运算

专题：向量与圆锥曲线

分析：（1）由|

a

|+|

b

|=8，结合向量模的计算公式可得

x2+(y+2)2

+

x2+(y-2)2

=8，即动点（x，y）到两定点（0，-2）和（0，2）的距离之和为定值2

2

，由椭圆的定义可得：点M（x，y）的轨迹C的方程；
（2）当直线l⊥x轴时，不合题意．当直线l不垂直于x轴时，设直线l方程为：y=kx+3，联立方程后，设出A，B两点坐标，结合韦达定理和向量垂直的充要条件求出k值，可得答案．

解答： 解：（1）∵

a

=x

i

+（y+2）

j

，

b

=x

i

+（y-2）

j

，
故

a

=（x，（y+2）），

b

=（x，（y-2）），
又∵|

a

|+|

b

|=8，
∴

x2+(y+2)2

+

x2+(y-2)2

=8，
即动点（x，y）到两定点（0，-2）和（0，2）的距离之和为定值2

2

，
由椭圆的定义可得：
点M（x，y）的轨迹C的方程为

y2

16

+

x2

12

=1…（5分）
（2）因抛物线方程为：x²=-12（y-3），故P（0，3），F（0，0）．
当直线l⊥x轴时，不合题意．
当直线l不垂直于x轴时，设直线l方程为：y=kx+3，
由

y=kx+3 y2 16 + x2 12 =1

⇒(4+3k2)x2+18kx-21=0，…（7分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且△＞0恒成立，
则x1+x2=-

18k2

3k2+4

；x1x2=-

21

3k2+4

，
又∵FA⊥FB?x₁x₂+y₁y₂=0…（10分）
可得：k2=

5

16

⇒k=±

5

4

，
则所求的直线方程为：y=±

5

4

x+3…（13分）

点评：本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的综合应用，向量垂直的充要条件，椭圆的定义，是圆锥曲线与向量的综合应用，难度中档．