Question

9．如图，已知直平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面边长均为2a，侧棱长均为a，∠ABC=60°，E、F、G分别是A₁B、A₁C、B₁C₁的中点．
（1）求证：EF∥平面BB₁C₁C；
（2）求证：平面A₁EG⊥平面BB₁C₁C；
（3）求二面角A₁-BC-A的大小．

Answer 1

分析 （1）利用三角形中位线定理、线面平行的判定定理即可证明．
（2）连接A₁C₁，由已知可得：△A₁B₁C₁是等边三角形，G是B₁C₁的中点，可得A₁G⊥B₁C₁．由直平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁，可得BB₁⊥底面A₁B₁C₁D₁，BB₁⊥A₁G，于是A₁G⊥平面BB₁C₁C；即可证明平面A₁EG⊥平面BB₁C₁C．
（3）取BC的中点M，连接AM，A₁M．由（1）可得AM⊥BC．由A₁C=$\sqrt{A{{A}_{1}}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{A{A}_{1}^{2}+A{B}^{2}}$=A₁B，可得A₁M⊥BC，因此∠AMA₁是二面角A₁-BC-A的平面角．利用直角三角形的半径关系即可得出．

解答 （1）证明：∵E、F分别是A₁B、A₁C的中点，∴EF∥BC，又EF?平面BB₁C₁C；BC?平面BB₁C₁C；
∴EF∥平面BB₁C₁C．
（2）证明：连接A₁C₁，由已知可得：△A₁B₁C₁是等边三角形，G是B₁C₁的中点，∴A₁G⊥B₁C₁．
由直平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁，可得BB₁⊥底面A₁B₁C₁D₁，A₁G?底面A₁B₁C₁D₁，
∴BB₁⊥A₁G，又B₁C∩B₁B=B₁，
∴A₁G⊥平面BB₁C₁C；又A₁G?平面A₁EG，
∴平面A₁EG⊥平面BB₁C₁C．
（3）解：取BC的中点M，连接AM，A₁M．
由（1）可得AM⊥BC．
由A₁C=$\sqrt{A{{A}_{1}}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{A{A}_{1}^{2}+A{B}^{2}}$=A₁B，
∴A₁M⊥BC，
∴∠AMA₁是二面角A₁-BC-A的平面角．
∵Rt△A₁MA中，AM=$\sqrt{3}$a，AA₁=a，
∴tan∠A₁CA=$\frac{A{A}_{1}}{AM}$=$\frac{a}{\sqrt{3}a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠AMA₁=30^°．
∴二面角A₁-BC-A是30^°．

点评 本题考查了空间位置关系、空间角、线面面面平行、垂直的判定与性质定理、三角形中位线定理、等腰三角形、等边三角形的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．