Question

已知过抛物线y²＝2px(p＞0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)(x₁＜x₂)两点，且|AB|＝9.

(1)求该抛物线的方程；

(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．

Answer 1

 解析：(1)直线AB的方程是y＝2，与y²＝2px联立，从而有4x²－5px＋p²＝0，

所以x₁＋x₂＝.

由抛物线定义得|AB|＝x₁＋x₂＋p＝9，

所以p＝4，从而抛物线方程是y²＝8x.

(2)由p＝4,4x²－5px＋p²＝0可简化为x²－5x＋4＝0，

从而x₁＝1，x₂＝4，y₁＝－2，y₂＝4，

从而A(1，－2)，B(4,4)．

设＝(x₃，y₃)

＝(1，－2)＋λ(4,4)

＝(4λ＋1,4λ－2)，

又y＝8x₃，即[2(2λ－1)] ²＝8(4λ＋1)，

即(2λ－1)²＝4λ＋1，

解得λ＝0或λ＝2.