Question

如图,四棱锥,侧面是边长为的正三角形,且与底面垂直,底面是的菱形,为棱上的动点,且()。

(Ⅰ) 求证:；

(Ⅱ) 试确定的值,使得二面角的平面角余弦值为。

 

Answer 1

解： (Ⅰ)取中点,连结,依题意可知△,△均为正三角形,

    所以,,又,,平面,

所以平面,又平面,所以,

因为,所以。…………5分

  (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,又平面平面,

平面平面,

平面,所以平面.…………6分

以为原点,建立空间直角坐标系如图所示, …………7分

    则,,,,

 

由可得点的坐标为,

所以,,

设平面的法向量为,则,即

解得,令,得,…………8分

显然平面的一个法向量为,…………9分

依题意,………… 10分

解得或(舍去), ………… 11分

所以,当时,二面角的余弦值为.………… 12分