Question

已知数列{a_n}是公差大于0的等差数列，且a₁=2，a₃=a₂²-10．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}是以函数f（x）=4sin²πx的最小正周期为首项，以f（

1

3

）为公比的等比数列，求数列{a_n-b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列的定义联立方程组求得d，即得通项公式；
（2）利用三角函数的周期定义求得b_n首项及q，写出b_n通项公式，利用等差数列及等比数列的求和公式求出S_n．

解答： 解：（Ⅰ）设{a_n}的公差为d，则

a1=2 a1+2d=(a1+d)2-10

，
解得d=2，或d=-4（舍去）．--------（3分）
所以a_n=2n．--------（5分）
（Ⅱ）因为f（x）=4sin²πx=-2cos2πx+2，最小正周期T=

2π

2π

=1，所以b₁=1，
又f（

1

3

）=3，故q=3，b_n=3^n-1，a_n-b_n=2n-3^n-1．-----------（8分）
故S_n=（2+4+6+…+2n）-（3⁰+3¹+3²+…+3^n-1）
=n²+n+

1

2

-

1

2

•3ⁿ．------（12分）

点评：本题主要考查学生对等差数列、等比数列的定义及通项公式，前n项和公式的掌握运用情况，属基础题．