Question

已知函数f（x）=a（sinx-cosx）-2sinxcosx，x∈R，a是常数．
（1）当a=0时，判断f（1）和f（

3

2

）的大小，并说明理由；
（2）求函数f（x）的最小值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：分类讨论,换元法,三角函数的图像与性质

分析：（1）a=0时，计算f（1）与f（

3

2

）的值，根据正弦函数的单调性判断它们的大小；
（2）用换元法，设t=sinx-cosx，用t表示f（x），讨论a的取值，求出函数f（x）的最小值来．

解答： 解：（1）当a=0时，f（1）＜f（

3

2

）；
∵a=0时，f（x）=-2sinxcosx=-sin2x，
∴f（1）=-sin2，f（

3

2

）=-sin3；
∵正弦函数在区间（

π

2

，π）上是减函数，且

π

2

＜2＜3＜π，
∴sin2＞sin3，
∴-sin2＜-sin3，
∴f（1）＜f（

3

2

）；
（2）令t=sinx-cosx，则t=

2

sin（x-

π

4

），…（5分）
∵x∈R∴-

2

≤t≤

2

 …（6分）
∵t²=（sinx-cosx）²=1-2sinxcosx
∴sinxcosx=

1-t2

2

  …（7分）
∴f（x）=at-（1-t²）=t²+at-1
∴只需求出函数g（t）=t²+at-1，-

2

≤t≤

2

的最小值即可  …（8分）
∵g（t）=(t+

a

2

)2-

a2

4

-1，-

2

≤t≤

2

∴当-

2

≤

a

2

≤

2

即-2

2

≤a≤2

2

时，
函数g（t）的最小值为g（-

a

2

）=-

a2

4

-1  …（9分）
当

a

2

＞

2

即a＞2

2

时，函数g（t）的最小值为g（-

2

）=1-

2

a …（10分）
当

a

2

＜-

2

即a＜-2

2

时，函数g（t）的最小值为g（

2

）=1+

2

a  …（11分）
∴当-2

2

≤a≤2

2

时，函数f（x）的最小值为-

a2

4

-1；
当a＞2

2

时，函数f（x）的最小值为1-

2

a；
当a＜-2

2

时，函数f（x）的最小值为1+

2

a．…（12分）

点评：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了利用换元法与分类讨论思想求函数最值的问题，是中档题目．