Question

17．设变量x，y满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}x+y-4≤0\\ x-3y+3≤0\\ x≥1\end{array}$，则z=$\frac{{|{x-y-4}|}}{{\sqrt{2}}}$的取值范围是$[{\frac{{7\sqrt{2}}}{4}，3\sqrt{2}}]$．

Answer 1

分析 画出约束条件的可行域，利用所求表达式的几何意义求解即可．

解答 解：变量x，y满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}x+y-4≤0\\ x-3y+3≤0\\ x≥1\end{array}$，表示的可行域如图：$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4=0}\\{x=1}\end{array}\right.$，可得A（1，3），
$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4=0}\\{x-3y+3=0}\end{array}\right.$，可得B（$\frac{9}{4}$，$\frac{7}{4}$）．
z=$\frac{{|{x-y-4}|}}{{\sqrt{2}}}$的几何意义是可行域内的点到直线x-y-4=0的距离，由图形可知：A到直线的距离最大，B到直线的距离最小．
最大值为：$\frac{|1-3-4|}{\sqrt{2}}$=3$\sqrt{2}$，
最小值为：$\frac{|\frac{9}{4}-\frac{7}{4}-4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{7\sqrt{2}}{4}$．

故答案为：$[{\frac{{7\sqrt{2}}}{4}，3\sqrt{2}}]$．

点评 本题考查解得线性规划的应用，作出可行域以及表达式的几何意义是解题的关键，考查计算能力．