Question

9．已知函数f（x）=|kx-2|+|kx-k|，g（x）=x+3．
（1）当k=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；
（2）若对任意的x∈R，f（x）≥4都成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）由题意|x-$\frac{2}{k}$|+|x-1|≥$\frac{4}{|k|}$ 恒成立，再利用绝对值不等式可得|1-$\frac{2}{k}$|≥$\frac{4}{|k|}$，故|k-2|≥4，由此求得k的范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=|kx-2|+|kx-k|，g（x）=x+3．
当k=1时，不等式f（x）≥g（x），即|x-2|+|x-1|≥x+3，
即$\left\{\begin{array}{l}{x＜1}\\{2-x+1-x≥x+3}\end{array}\right.$ ①，或$\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤2}\\{2-x+x-1≥x+3}\end{array}\right.$②，或 $\left\{\begin{array}{l}{x＞2}\\{x-2+x-1≥x+3}\end{array}\right.$③．
解①求得 x≤0，解②求得x无解，解③求得x＞2，
综上可得，原不等式的解集为{x|x≤0或x＞2}．
（2）若对任意的x∈R，f（x）≥4都成立，即|kx-2|+|kx-k|≥4 恒成立，∵k≠0，
即|x-$\frac{2}{k}$|+|x-1|≥$\frac{4}{|k|}$ 恒成立，
故h（x）=|x-$\frac{2}{k}$|+|x-1|的最小值大于或等于$\frac{4}{|k|}$．
∵h（x）=|x-$\frac{2}{k}$|+|x-1|≥|（x-$\frac{2}{k}$）-（x-1）|=|1-$\frac{2}{k}$|，∴|1-$\frac{2}{k}$|≥$\frac{4}{|k|}$，|k-2|≥4，
即k-2≥4，或k-2≤-4，∴k≥6 或k≤-2，
故实数k的取值范围为{x|k≥6 或k≤-2}．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，绝对值三角不等式的应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．