Question

15．已知抛物线C₁：y²=16x上的点P到圆C₂：（x-4）²+y²=$\frac{32}{41}$的圆心的距离等于8，则抛物线C₁在点P处的切线l₁与C₂经过点P的切线l₂构成的角中，较小的角θ的正切值等于$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 求得圆的圆心和半径，抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义，求得P的坐标，对抛物线求导，可得切线l₁的斜率，再由直线和圆相切的条件：d=r，求得切线l₂的斜率，运用两直线的到角公式，计算即可得到所求最小值．

解答 解：圆C₂：（x-4）²+y²=$\frac{32}{41}$的圆心为（4，0），半径为$\sqrt{\frac{32}{41}}$，
抛物线C₁：y²=16x的焦点为（4，0），准线为x=-4，
由抛物线的定义可得x_P+4=8，
解得x_P=4，y_P=±8，
取P（4，8），对抛物线y²=16x，两边对x求导，可得：
2yy′=16，即有切线l₁的斜率为$\frac{8}{8}$=1，
由直线和圆相切的条件可得d=r，
设过P的切线方程为y-8=k（x-4），即为kx-y+8-4k=0，
即有$\frac{|8|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{32}{41}}$，解得k=±9，
由两直线的到角公式可得tanα=$\frac{9-1}{1+9}$=$\frac{4}{5}$，或tanβ=$\frac{-9-1}{1-9}$=$\frac{5}{4}$．
可得较小的角θ的正切值等于$\frac{4}{5}$．
故答案为：$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，注意运用焦点和准线方程，同时考查抛物线的切线和圆的切线方程，考查运算能力，属于中档题．