Question

20．已知函数f（x）=x³+ax²-x+c（x∈R），下列结论错误的是（　　）

• A． 函数f（x）一定存在极大值和极小值
• B． 若函数f（x）在（-∞，x₁），（x₂，+∞）上是增函数，则x₂-x₁≥$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• C． 函数f（x）的图象是中心对称图形
• D． 函数f（x）的图象在点（x₀，f（x₀））（x₀∈R）处的切线与f（x）的图象必有两个不同的公共点

Answer 1

分析 先求出函数的导数，找到单调区间，列出表格，逐一排除，得出答案．

解答 解：∵f′（x）=3x²+2ax-1．
∴△=4a²⁺12＞0，
∴f′（x）=0有两解，不妨设为x₁＜x₂，列表如下

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

由表格可知：
①x=x₁时，函数f（x）取到极大值，x=x₂时，函数f（x）取到极小值，故选项A正确，
②函数f（x）在（-∞，x₁），（x₂，+∞）上是增函数，x₂-x₁=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{{a}^{2}+3}}{3}$≥$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，故选项B正确，
③∵f（-$\frac{2}{3}$a-x）+f（x）=$\frac{4{a}^{3}}{9}$+$\frac{2a}{3}$，f（-$\frac{a}{3}$）=$\frac{2{a}^{3}}{9}$+$\frac{a}{3}$，∴f（-$\frac{2}{3}$a-x）+f（x）=2f（-$\frac{a}{3}$），∴（-$\frac{a}{3}$，f（-$\frac{a}{3}$））为对称中心，故选项C正确，
选项A，B，C都正确，利用排除法，选项D错误，
即函数f（x）在点（x₀，f（x₀））处的切线与f（x）的图象可以有一个不同公共点．
故选：D．

点评 本题考察了函数的单调性，函数的最值问题，导数的应用，是一道综合题．