Question

9．圆C：x²+y²=1，直线l：y=kx+2，直线l与圆C交与A，B，若|$\overrightarrow{OA}$$+\overrightarrow{OB}$|＜|$\overrightarrow{OA}$$-\overrightarrow{OB}$|（其中O为坐标原点），则k的取值范围是（　　）

• A． （0，$\sqrt{7}$）
• B． （-$\sqrt{7}$，$\sqrt{7}$）
• C． （$\sqrt{7}$，+∞）
• D． （$-∞，-\sqrt{7}$）$∪（\sqrt{7，}+∞）$

Answer 1

分析 根据向量的减法法则和向量数量积的运算性质，算出$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$＜0，得∠AOB为钝角．由此可得圆心到直线的距离小于$\frac{\sqrt{2}}{2}$r（r为圆的半径），结合点到直线的距离公式列式，即可得到实数k的取值范围．

解答 解：∵|$\overrightarrow{OA}$$+\overrightarrow{OB}$|＜|$\overrightarrow{OA}$$-\overrightarrow{OB}$|
∴平方得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$＜0，即|$\overrightarrow{OA}$||$\overrightarrow{OB}$|cos∠AOB＜0
因此，∠AOB为钝角，
∵直线l与圆C交与A，B，
∴圆心到直线的距离小于$\frac{\sqrt{2}}{2}$r（r为圆的半径）
即$\frac{2}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴k＜-$\sqrt{7}$或k＞$\sqrt{7}$，
故选：D．

点评 本题给出直线与圆相交满足的向量不等式，求参数k的取值范围．着重考查了向量的数量积运算性质、直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式等知识，属于中档题．