Question

10．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为一直角梯形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD=AD=2AB=2，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．
（1）证明：直线BE∥平面PAD；
（2）若直线BE⊥平面PCD．
①求PA的长；
②求异面直线PD与BC所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）设PA=b，建立如图所示空间直角坐标系，证明$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BE}$=0，即可证明直线BE∥平面PAD；
（2）①若直线BE⊥平面PCD，$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{PC}$=0，即可求PA的长；
②利用向量的夹角公式，即可求异面直线PD与BC所成角的余弦值．

解答 （1）证明：设PA=b，建立如图所示空间直角坐标系，A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，b），D（0，2，0），C（2，2，0），E（1，1，$\frac{b}{2}$）．…（2分）
$\overrightarrow{BE}$=（0，1，$\frac{b}{2}$），平面PAD的法向量为$\overrightarrow{AB}$=（1，0，0），
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BE}$=0，…（5分）
又BE?平面PAD，
∴直线BE∥平面PAD．…（7分）
（2）解：①∵直线BE⊥平面PCD，
∴BE⊥PC，即$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{PC}$=0．…（8分）
又$\overrightarrow{PC}$=（2，2，-b），
∴$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{PC}$=2-$\frac{{b}^{2}}{2}$=0，…（9分）
即b=2，∴PA的长为2．…（10分）
②$\overrightarrow{PD}$=（0，2，-2），$\overrightarrow{BC}$=（1，2，0），…（11分）
∴cos＜$\overrightarrow{PD}$，$\overrightarrow{BC}$＞=$\frac{4}{2\sqrt{2}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，…（13分）
∴异面直线PD与BC所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{5}$．…（14分）

点评 本题考查线面平行的判定，考查异面直线PD与BC所成角的余弦值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．