Question

15．已知数列{a_n}是等差数列，且a₂=7，a₅=16，数列{b_n}是各项为正数的数列，b₁=2且b_n+1-2b_n=0．
（1）求{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）设数列{a_n}的公差为d，数列{b_n}的公比为q，运用等差数列和等比数列的通项公式，计算即可得到所求；
（2）求得c_n=a_nb_n=（3n+1）•2ⁿ，再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式计算即可得到．

解答 解：（1）设数列{a_n}的公差为d，数列{b_n}的公比为q，
由a₂=7，a₅=16，可得3d=9，解得d=3，a_n=a₂+（n-2）d=3n+1；
由b₁=2且b_n+1-2b_n=0，可得q=2，b_n=2ⁿ；
（2）c_n=a_nb_n=（3n+1）•2ⁿ，
前n项和S_n=4•2+7•2²+10•2³+…+（3n+1）•2ⁿ，
2S_n=4•2²+7•2³+10•2⁴+…+（3n+1）•2ⁿ⁺¹，
两式相减，可得-S_n=8+3（2²+2³+…+2ⁿ）-（3n+1）•2ⁿ⁺¹
=8+3•$\frac{4（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（3n+1）•2ⁿ⁺¹
化简可得，S_n=4+（3n-2）•2ⁿ⁺¹．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项和求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，考查运算能力，属于中档题．