Question

3．已知函数$f（x）={x^2}-\frac{1}{2}lnx+\frac{3}{2}$在其定义域内的一个子区间（a-1，a+1）内不是单调函数，则实数a的取值范围是（　　）

• A． $（{-\frac{1}{2}，\frac{3}{2}}）$
• B． $[{1，\frac{5}{4}}）$
• C． $（{1，\frac{3}{2}}）$
• D． $[{1，\frac{3}{2}}）$

Answer 1

分析 先求出函数的导数，令导函数为0，求出x的值，得到不等式解出k的值即可．

解答 解：函数的定义域为（0，+∞），所以a-1≥0即a≥1，
f′（x）=2x-$\frac{1}{2x}$=$\frac{4{x}^{2}-1}{2x}$，令f′（x）=0，得x=$\frac{1}{2}$或x=-$\frac{1}{2}$（不在定义域内舍），
由于函数在区间（a-1，a+1）内不是单调函数，所以$\frac{1}{2}$∈（a-1，a+1），
即a-1＜$\frac{1}{2}$＜k+1，解得：-$\frac{1}{2}$＜k＜$\frac{3}{2}$，
综上得1≤k＜$\frac{3}{2}$，
故选：D

点评 本题考查了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题．