Question

11．在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是AB、BC的中点，EF与BD交于点G，M为棱BB₁上一点．
（1）证明：EF∥平面 A₁C₁D；
（2）当B₁M：MB的值为多少时，D₁M⊥平面 EFB₁，证明之；
（3）求点D到平面 EFB₁的距离．

Answer 1

分析 （1）根据EF∥AC、AC∥A₁C₁ 证得EF∥A₁C₁，再利用直线和平面平行的判定定理证得平面 EF∥A₁C₁D．
（2）当B₁M：MB的值为1时，D₁M⊥平面 EFB₁ ．先证明B₁E⊥D₁M，再证明EF⊥D₁M，再结合EF∩B₁E=E，从而证得D₁M⊥平面 EFB₁ ．
（3）设点D到平面 EFB₁的距离为d，根据${V_{D={B_1}EF}}={V_{{B_1}=DEF}}$，求得d的值．

解答 解：（Ⅰ）∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF∥AC，又AC∥A₁C₁，
∴EF∥A₁C₁，而AC?平面 A₁C₁D，EF?平面 A₁C₁D，∴EF∥平面AC₁D₁．
（II）当B₁M：MB=1时，D₁M⊥平面EFB₁，证明如下：
∵B₁M：MB=1，∴A₁M⊥B₁E．
又A₁D₁⊥平面AA₁BB₁，∴A₁D₁⊥B₁E，∴B₁E⊥平面A₁MD，∴B₁E⊥D₁M ①．
又EF⊥平面DD₁B₁B，∴EF⊥D₁M ②，又EF∩B₁E=E ③，
∴由①②③可得D₁M⊥平面EFB₁ ．
（ III）设点D到平面EFB₁的距离d，∵${V_{D={B_1}EF}}={V_{{B_1}=DEF}}$，
∴$\frac{1}{3}d•{S_{△{B_1}EF}}=\frac{1}{3}B{B_1}•{S_{△DEF}}$，即 $\frac{1}{3}•d$•（$\frac{1}{2}$•EF•B₁G ）=$\frac{1}{3}$•a•（$\frac{1}{2}$•EF•DG），即dB₁G=a•DG，
∴d=$\frac{DG}{{B}_{1}G}$•a=a．

点评 本题猪腰考查直线和平面平行的判定与性质，直线和平面垂直的判定与性质，用等体积法求点到平面的距离，属于中档题．