Question

8．如图所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC为边长为6的等边三角形，点A₁在平面ABC内的射影为△ABC的中心．
（1）求证：BC⊥BB₁；
（2）若AA₁与底面ABC所成角为60°，P为CC₁的中点，求直线BB₁与平面AB₁P所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）点A₁在底面△ABC的射影为O，连接A₁O，取BC的中点E，连接AE，利用线面垂直的性质定理可得A₁O⊥BC．利用等边三角形的性质及其线面垂直的判定定理可得：BC⊥平面A₁OA，可得BC⊥A₁A，而AA₁∥BB₁，即可证明结论．
（2）由（1）知A₁O，AO，BC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，由于A₁O⊥平面ABC，可得∠A₁AO为A₁A底面△ABC所成的角．求出平面PAB₁的一个法向量，利用向量夹角公式即可得出．

解答 （1）证明：点A₁在底面△ABC的射影为O，连接A₁O，取BC的中点E，连接AE，
∵A₁O⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴A₁O⊥BC．
又∵AE⊥BC，AE∩A₁O=O，∴BC⊥平面A₁OA，
∵AA₁?平面A₁OA，∴BC⊥A₁A，
∵AA₁∥BB₁，∴BC⊥BB₁．
（2）解：由（1）知A₁O，AO，BC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
∵A₁O⊥平面ABC，∴∠A₁AO为A₁A底面△ABC所成的角．
∵AB=6，∴$AO=\frac{{\sqrt{3}}}{3}×6=2\sqrt{3}$，$OE=\sqrt{3}$，$∠{A_1}AO={60^0}$，A₁O=6，
∴$A（2\sqrt{3}，0，0）$，$B（-\sqrt{3}，3，0）$，$C（-\sqrt{3}，-3，0）$，A₁（0，0，6），
$\overrightarrow{A{A_1}}=\overrightarrow{B{B_1}}=\overrightarrow{C{C_1}}=（-2\sqrt{3}，0，6）$，$\overrightarrow{AC}=（-3\sqrt{3}，-3，0）$，$\overrightarrow{AB}=（-3\sqrt{3}，3，0）$，$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{C{C_1}}=（-4\sqrt{3}，-3，3）$，$\overrightarrow{A{B_1}}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B{B_1}}=（-5\sqrt{3}，3，6）$，
设平面PAB₁的一个法向量$\overrightarrow n=（x，y，z）$，由$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow n=\overrightarrow{A{B_1}}•\overrightarrow n=0$，
得$\left\{{\begin{array}{l}{-4\sqrt{3}x-3y+3z=0}\\{-5\sqrt{3}x+3y+6z=0}\end{array}}\right.$，得$\overrightarrow n=（\sqrt{3}，-1，3）$．
$|cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{B{B}_{1}}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{B}_{1}}|}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{B{B}_{1}}|}$=$\frac{12}{\sqrt{13}×\sqrt{48}}$=$\frac{{\sqrt{39}}}{13}$．
∴直线BB₁与平面AB₁P所成角的正弦值$\frac{{\sqrt{39}}}{13}$．

点评 本题考查了空间位置关系、线面面面垂直与平行的判定及其性质定理、空间角、向量夹角公式、法向量的应用、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．