题目内容
已知A、B分别在射线CM、CN（不含端点C）上运动，∠MCN=| 2 |
| 3 |
（1）若b-a=c-b=2．求c的值；
（2）若c=
| 3 |
考点：解三角形的实际应用
专题：解三角形
分析：（1）根据b-a=c-b=2．用c表示a，b，利用余弦定理即可求c的值；
（2）根据正弦定理求出AC，BC的长度，即可求出周长的最大值．
（2）根据正弦定理求出AC，BC的长度，即可求出周长的最大值．
解答：
解：（1）∵b-a=c-b=2，
∴b=c-2，a=b-2=c-4＞0，∴c＞4．
∵∠MCN=
π，
∴由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos
π，
即c2=（c-4）2+（c-2）2-2（c-4）（c-2）×（-
），
整理得 c2-9c+14=0，解得c=7，或c=2．
又∵c＞4，∴c=7．
（2）在△ABC中，由正弦定理可得
=
=
，
即
=
=
=2，
则AC=2sinθ，BC=2sin（
-θ）．
∴△ABC的周长f（θ）=|AC|+|BC|+|AB|=2sinθ+2sin（
-θ）+
=2sin（θ+
）+
．
又∵θ∈（0，
），∴
＜θ+
＜
π，
∴当θ+
=
，即θ=
时，f（θ）取得最大值2+
．
∴b=c-2，a=b-2=c-4＞0，∴c＞4．
∵∠MCN=
| 2 |
| 3 |
∴由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos
| 2 |
| 3 |
即c2=（c-4）2+（c-2）2-2（c-4）（c-2）×（-
| 1 |
| 2 |
整理得 c2-9c+14=0，解得c=7，或c=2．
又∵c＞4，∴c=7．
（2）在△ABC中，由正弦定理可得
| AC |
| sin∠ABC |
| BC |
| sn∠BAC |
| AB |
| sin∠ACB |
即
| AC |
| sinθ |
| BC | ||
sin(
|
| ||
sin
|
则AC=2sinθ，BC=2sin（
| π |
| 3 |
∴△ABC的周长f（θ）=|AC|+|BC|+|AB|=2sinθ+2sin（
| π |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
又∵θ∈（0，
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
∴当θ+
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 3 |
点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，正弦函数的定义域和值域，利用辅助角公式是解决本题的关键．
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