题目内容

已知命题p：不等式4x2+4（m-2）x+1＞0在R上恒成立；命题q：方程
x2
m
+
y2
4-m
=1表示焦点在y轴上的椭圆．若“?p且q“为真，求m的取值范围．
考点：复合命题的真假
专题：简易逻辑
分析：对于命题p：不等式4x2+4（m-2）x+1＞0在R上恒成立，可得△＜0；对于命题q：方程
x2
m
+
y2
4-m
=1表示焦点在y轴上的椭圆，可得4-m＞m＞0．若“?p且q“为真，则p假q真．
解答： 解：对于命题p：不等式4x2+4（m-2）x+1＞0在R上恒成立，
∴△=16（m-2）2-16=16（m2-4m+3）＜0，解得1＜m＜3；
对于命题q：方程
x2
m
+
y2
4-m
=1表示焦点在y轴上的椭圆，则4-m＞m＞0，解得0＜m＜2．
若“?p且q“为真，则p假q真．
∴
0＜m＜2
m≤1或m≥3
，解得0＜m≤1．
∴m的取值范围为（0，1]．
点评：本题考查了一元二次不等式的解集与判别式的关系、椭圆的标准方程、简易逻辑的有关知识，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
练习册系列答案
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将圆O：x2+y2=4上各点的纵坐标变为原来的一半 （横坐标不变），得到曲线C1、抛物线C2的焦点是直线y=x-1与x轴的交点．
（1）求C1，C2的标准方程；
（2）请问是否存在直线l满足条件：①过C2的焦点F；②与C1交于不同两点M，N，且满足
OM
⊥
ON
？若存在，求出直线l的方程； 若不存在，说明理由．
已知z=1-i，w=（2-i）
.
z
-2
（Ⅰ）求|w|；
（Ⅱ）如果aw-b=
2i
z
（a，b∈R），求2a+b的值．
已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．
（Ⅰ）若a＞b＞c，且f（1）=0，证明f（x）的图象与x轴有2个交点；
（Ⅱ）若对x1，x2∈R，且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），方程f（x）=
1
2
[f（x1）+f（x2）]有2个不等实根，证明必有一实根属于（x1，x2）；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，是否存在m∈R，使得f（m）=-a成立时，f（m+3）为正数，若存在，证明你的结论；若不存在，说明理由．
已知点M，N的坐标分别是（0，2）和（0，-2），点P是二次函数y=
1
8
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1
8
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（3）过点P，Q分别作直线y=-2的垂线，垂足分别为H，R，取QH中点为E，求证：QE⊥PE．
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x2
a2
+
y2
b2
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（3）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，
OB
=2
OA
，求直线AB的方程．
已知A、B分别在射线CM、CN（不含端点C）上运动，∠MCN=
2
3
π，在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c．
（1）若b-a=c-b=2．求c的值；
（2）若c=
3
，∠ABC=θ，试用θ表示△ABC的周长，并求周长的最大值．
为了了解高一学生的身体发育情况，打算在高一年级29个班的某两个班按男女生比例抽取样本，正确的抽样方法是
 
（从“随机抽样、分层抽样、先用抽签法，再分层抽样、先用分层抽样，再用随机数表法”中选一个填上）．
复数z=（a2-2a）+（a-2）i为纯虚数，则实数a=
 
．

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