Question

14．已知曲线$y=\frac{1}{x}$．
（1）求满足斜率为$-\frac{1}{3}$的曲线的切线方程；
（2）求曲线过点P（1，0）的切线方程．

Answer 1

分析 （1）求导数，利用斜率为$-\frac{1}{3}$，求出切点坐标，即可求满足斜率为$-\frac{1}{3}$的曲线的切线方程；
（2）设过该点的切线切点为$B（b，\frac{1}{b}）$，求导数，即可求曲线过点P（1，0）的切线方程．

解答 解：（1）设切点为$A（a，\frac{1}{a}）$，
则切线斜率为$k=y'{|_{c=a}}=-\frac{1}{a^2}$，…（1分）
所以$-\frac{1}{a^2}=-\frac{1}{3}$，解得$a=±\sqrt{3}$，…（2分）
所以，切点坐标为$（\sqrt{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$或$（-\sqrt{3}，-\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$，…（3分）
于是，切线方程为$y-\frac{{\sqrt{3}}}{3}=-\frac{1}{3}（x-\sqrt{3}）$或$y+\frac{{\sqrt{3}}}{3}=-\frac{1}{3}（x+\sqrt{3}）$，
整理得，$x+3y-2\sqrt{3}=0$或$x+3y+2\sqrt{3}=0$．…（5分）
（2）显然点P（1，0）不在曲线$y=\frac{1}{x}$上，…（6分）
则可设过该点的切线切点为$B（b，\frac{1}{b}）$，
而斜率$k=y'{|_{k=b}}=-\frac{1}{b^2}$，…（7分）
于是，切线方程为$y-\frac{1}{b}=-\frac{1}{b^2}（x-b）$，①…（8分）
将P（1，0）坐标代入方程①得$-\frac{1}{b}=-\frac{1}{b^2}（1-b）$，解得$b=\frac{1}{2}$，…（9分）
把$b=\frac{1}{2}$代入方程①，并整理得切线方程为4x+y-4=0．…（10分）

点评 本题考查导数几何意义的运用，考查学生的计算能力，正确求导是关键．