Question

9．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且λS_n=λ-a_n，其中λ≠0且λ≠-1．
（1）证明：{a_n}是等比数列，并求其通项公式；
（2）若${S_4}=\frac{15}{16}$，求λ．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件求出数列的首项以及数列相邻两项的关系，利用数列是等比数列，求出公比，然后求解通项公式．
（2）利用数列的通项公式以及已知条件推出λ的关系式，求解即可．

解答 解：（1）当n=1时，λa₁=λ-a₁，
∵λ≠0且λ≠-1，∴${a_1}=\frac{λ}{1+λ}$，
当n≥2时，λS_n-1=λ-a_n-1，λS_n=λ-a_n，
两式相减得（1+λ）a_n=a_n-1，因为λ≠-1，
∴$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=\frac{1}{{（{1+λ}）}}$，
因此{a_n}是首项为${a_1}=\frac{λ}{1+λ}$，公比为$\frac{1}{{（{1+λ}）}}$的等比数列，
∴${a_n}=\frac{λ}{1+λ}{（{\frac{λ}{1+λ}}）^{n-1}}=\frac{λ}{{{{（{1+λ}）}^n}}}$．
（2）由λS_n=λ-a_n得${S_4}=1-\frac{1}{λ}{a_4}$=$1-\frac{1}{{{{（{λ+1}）}^4}}}$
∴$1-\frac{1}{{{{（{λ+1}）}^4}}}=\frac{15}{16}$，
∴λ=1或λ=-3．

点评 本题考查数列的递推关系式的应用，等比数列的通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力．