Question

19．已知x，y∈R，向量$\overrightarrow{a}$=$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$使二阶矩阵A=$[\begin{array}{l}{a}&{2}\\{b}&{4}\end{array}]$的属于特征值3的一个特征向量，求直线l：2x-y-3=0在矩阵A对应的变换作用下得到的直线l′的方程．

Answer 1

分析 利用特征值与特征向量的定义，建立方程，求出a，b，即可求矩阵A，设l上点P（x，y）在A的作用下得到直线l′上一点P′（x′，y′），进一步求得x′，y′与x，y的关系，代入直线方程得答案．

解答 解：由题意，$[\begin{array}{l}{a}&{2}\\{b}&{4}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$=3$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$，∴$\left\{\begin{array}{l}{a+2=3}\\{b+4=3}\end{array}\right.$，
∴a=1，b=-1，
∴A=$[\begin{array}{l}{1}&{2}\\{-1}&{4}\end{array}]$，
设l上点P（x，y）在A的作用下得到直线l′上一点P′（x′，y′），
则$\left\{\begin{array}{l}{x′=x+2y}\\{y′=-x+4y}\end{array}\right.$，∴x=$\frac{1}{3}$（2x′-y′），y=$\frac{1}{6}$（x′+y′），
代入直线l的方程，化简得7x′-5y′-18=0，
即直线l′的方程为7x-5y-18=0．

点评 本题主要考查矩阵与变换、曲线在矩阵变换下的曲线的方程，考查运算求解能力及化归与转化思想，是基础题．