题目内容
如图15，四棱柱ABCD A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD＝2BC.过A1，C，D三点的平面记为α，BB1与α的交点为Q.
图15
(1)证明：Q为BB1的中点；
(2)求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；
(3)若AA1＝4，CD＝2，梯形ABCD的面积为6，求平面α与底面ABCD所成二面角的大小．
解： (1)证明：因为BQ∥AA1，BC∥AD，
BC∩BQ＝B，AD∩AA1＝A，
所以平面QBC∥平面A1AD，
从而平面A1CD与这两个平面的交线相互平行，
即QC∥A1D.
故△QBC与△A1AD的对应边相互平行，
于是△QBC∽△A1AD，
所以
＝
＝
＝
，即Q为BB1的中点．
(2)如图1所示，连接QA，QD.设AA1＝h，梯形ABCD 的高为d，四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积分别为V上和V下，BC＝a，则AD＝2a.
图1
V三棱锥Q A1AD＝
×·2a·h·d＝ahd，
V四棱锥Q ABCD＝·
·d·
＝
ahd，
所以V下＝V三棱锥Q A1AD＋V四棱锥Q ABCD＝
ahd.
又V四棱柱A1B1C1D1 ABCD＝
ahd，
所以V上＝V四棱柱A1B1C1D1 ABCD－V下＝ahd－ahd＝
ahd，故
＝
.
(3)方法一：如图1所示，在△ADC中，作AE⊥DC，垂足为E，连接A1E.
又DE⊥AA1，且AA1∩AE＝A，
所以DE⊥平面AEA1，所以DE⊥A1E.
所以∠AEA1为平面α与底面ABCD所成二面角的平面角．
因为BC∥AD，AD＝2BC，所以S△ADC＝2S△BCA.
又因为梯形ABCD的面积为6，DC＝2，
所以S△ADC＝4，AE＝4.
于是tan∠AEA1＝
＝1，∠AEA1＝
.
故平面α与底面ABCD所成二面角的大小为.
方法二：如图2所示，以D为原点，DA，
分别为x轴和z轴正方向建立空间直角坐标系．
设∠CDA＝θ，BC＝a，则AD＝2a.
因为S四边形ABCD＝·2sin θ＝6，
所以a＝
.
图2
口算心算速算应用题系列答案
同步拓展阅读系列答案
＋9C
＋27C
＋…＋3nC
＝________(n∈N*)．
，则该学生在面试时得分的期望为________．
B.
D.