题目内容
已知函数f（x）=sin2ωx+2cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求函数f（x），x∈[0，π]的单调增区间；
（Ⅱ）证明：无论m为何值，直线4x-y+m=0与函数y=f（x）的图象不相切．
（Ⅰ）求函数f（x），x∈[0，π]的单调增区间；
（Ⅱ）证明：无论m为何值，直线4x-y+m=0与函数y=f（x）的图象不相切．
考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象
专题：三角函数的图像与性质
分析：（Ⅰ）利用倍角公式降幂后化简f（x），由周期求得ω，然后直接利用复合函数的单调性求函数f（x）在x∈[0，π]的单调增区间；
（Ⅱ）对（Ⅰ）中化简的f（x）求导，得到导函数的值域，由直线4x-y+m=0得斜率不在导函数的值域内说明无论m为何值，直线4x-y+m=0与函数y=f（x）的图象不相切．
（Ⅱ）对（Ⅰ）中化简的f（x）求导，得到导函数的值域，由直线4x-y+m=0得斜率不在导函数的值域内说明无论m为何值，直线4x-y+m=0与函数y=f（x）的图象不相切．
解答：
（Ⅰ）解：f（x）=sin2ωx+2cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx+1=
sin(2ωx+
)+1．
∵f（x）的最小正周期为T=π，∴ω=1，
即f(x)=
sin(2x+
)+1．
由2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
(k∈Z)，得kπ-
≤x≤kπ+
．
又∵x∈[0，π]，
∴k=0时，取x∈[0，
]；
k=1时，取x∈[
，π]．
∴f（x）的单调增区间为[0，
]，[
，π]；
（Ⅱ）证明：∵f（x）=
sin(2x+
)+1．
∴f′(x)=2
cos(2x+
)，
∴f′(x)∈[-2
，2
]．
而直线4x-y+m=0的斜率为4∉[-2
，2
]，
∴在f（x）图象上不存在点，使得该点的导数为4，
即无论m取得何值，直线4x-y+m=0与函数y=f（x）的图象相切．
| 2 |
| π |
| 4 |
∵f（x）的最小正周期为T=π，∴ω=1，
即f(x)=
| 2 |
| π |
| 4 |
由2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| 3π |
| 8 |
| π |
| 8 |
又∵x∈[0，π]，
∴k=0时，取x∈[0，
| π |
| 8 |
k=1时，取x∈[
| 5π |
| 8 |
∴f（x）的单调增区间为[0，
| π |
| 8 |
| 5π |
| 8 |
（Ⅱ）证明：∵f（x）=
| 2 |
| π |
| 4 |
∴f′(x)=2
| 2 |
| π |
| 4 |
∴f′(x)∈[-2
| 2 |
| 2 |
而直线4x-y+m=0的斜率为4∉[-2
| 2 |
| 2 |
∴在f（x）图象上不存在点，使得该点的导数为4，
即无论m取得何值，直线4x-y+m=0与函数y=f（x）的图象相切．
点评：本题考查了三角函数中的恒等变换的应用，考查了与三角函数有关的复合函数单调性的求法，训练了利用导数求曲线上过某点处的切线的斜率，是中档题．
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