Question

17．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-1，1）、B（1，1），P是动点，且直线AP与B 的斜率之积等于-$\frac{1}{3}$．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）设直线AP与BP分别与直线x=3相交于点M、N，试问：是否存在点P使得△PAB 与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意设出P的坐标，列出等式，用P的坐标表示等式即可得到结果，注意范围．（2）求出设出直线AP，BP方程，求出与x=3的交点坐标，由题意列方程即可．

解答 解：（1）设点P的坐标（x，y），由题意得$\frac{y-1}{x+1}•\frac{y-1}{x-1}=-\frac{1}{3}$，
化简得 x²+3（y-1）²=1（x≠±1）．
故动P的轨迹方程为x²+3（y-1）²=1（x≠±1）．
（2）若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，设P的坐标为（x₀，y₀），x₀∈[-1，1]
则$\frac{1}{2}|PA|•|PB|sin∠APB=\frac{1}{2}|PM|•|PN|sin∠MPN$．
因为sin∠APB=sin∠MPN，
所以  $\frac{|PA|}{|PM|}=\frac{|PN|}{|PB|}$，
所以$\frac{|{x}_{0}+1|}{|3-{x}_{0}|}=\frac{|3-{x}_{0}|}{|{x}_{0}-1|}$，
即 $（3-{x}_{0）^{2}}=|{{x}_{0}}^{2}-1|$，
解得${x}_{0}=\frac{5}{3}$∉[-1，1]，
故不存在点P（x₀，y₀）使△PAB与△PMN的面积相等．

点评 本题考查圆锥曲线的综合问题．第二问由等量关系得到点P的坐标得等式是解题关键．利用几何性质转化可以减少运算量．本题难度一般．