Question

【题目】我国古代数学名著《九章算术》中记载了有关特殊几何体的定义：阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，堑堵指底面是直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.

（1）某堑堵的三视图，如图1，网格中的每个小正方形的边长为1，求该堑堵的体积；

（2）在堑堵中，如图2，，若，当阳马的体积最大时，求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）2；（2），arcsin（或arccos）.

【解析】

（1）由三视图还原原几何体，再由棱柱体积公式求解；

（2）阳马B﹣A1ACC1的体积VA1A×AC×BCAC×BC（AC2+BC2）AB2，当且仅当AC＝BC时，，以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解空间角．

（1）由三视图还原原几何体如图，

可知该几何体为直三棱柱，底面是等腰直角三角形，直角边长为，

直三棱柱的高为2，

则其体积为V；

（2）∵A1A＝AB＝2，阳马B﹣A1ACC1的体积：

VA1A×AC×BCAC×BC（AC2+BC2）AB2，

当且仅当AC＝BC时，，

以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，

则A1（0，，2），B（，0，0），C1（0，0，2），

∴（0，，2），（，0，0），（0，，0），（，0，﹣2），

设平面CA1B的法向量（x，y，z），

则，取y，得（0，，﹣1），

设平面C1A1B的法向量（a，b，c），

则，取a，得（，0，1），

设当阳马B﹣A1ACC1体积最大时，二面角C﹣A1B﹣C1的平面角为θ，

则cosθ，

∴当阳马B﹣A1ACC1体积最大时，二面角C﹣A1B﹣C1的大小为arccos．