题目内容
【题目】在直角坐标系xOy中，动点P与定点
的距离和它到定直线
的距离之比是
，设动点P的轨迹为E．
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）设过F的直线交轨迹E的弦为AB，过原点的直线交轨迹E的弦为CD，若
，求证：
为定值．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
（1）设点
，根据动点P与定点
的距离和它到定直线
的距离之比是
，列出等式，再化简即可得出答案.
（2）设出直线AB与直线CD，联立直线与椭圆，即可得出
、
的值，即可求出
.
解：（1）设点，由题意得
，将两边平方，并简化得，
故轨迹
的方程是．
（2）证明：①当直线AB的斜率不存在时，易求
，
，
则．
②当直线AB的斜率存在时，
设直线AB的斜率为k，依题意
，
则直线AB的方程为
，直线CD的方程为
．
设
，
，
，
，
由
得
．
则
，
，
由
整理得
，则
．
．
∴
．
综合①②知：为定值．
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