题目内容

表面积为6π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的高与底面半径的比为
 
．
考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
专题：导数的概念及应用,空间位置关系与距离
分析：设出圆柱的高为h，底面半径为r，由表面积公式，求出r与h的关系，写出圆柱的体积V的解析式，求出V取最大时的h与r的比值．
解答： 解：设该圆柱的高为h，底面半径为r，
∴表面积为2πr2+2πrh=6π，
即r2+rh=3，
∴h=
3-r2
r
；
∴圆柱的体积为
V=πr2h=πr2•
3-r2
r
=πr（3-r2）=3πr-πr3，
∴V′=3π-3πr2，
令V′=0，
解得r=1，此时V最大；
此时h=
3-12
1
=2，
∴
h
r
=
2
1
=2．
故答案为：2．
点评：本题考查了圆柱体的表面积与体积公式的应用问题，解题时应利用公式建立函数解析式，利用导数求函数解析式的最值，是综合题．
练习册系列答案
相关题目
请仔细阅读以下材料：
已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递增函数．
求证：命题“设a，b∈R+，若ab＞1，则f(a)+f(b)＞f(
1
a
)+f(
1
b
)”是真命题．
证明 因为a，b∈R+，由ab＞1得a＞
1
b
＞0．
又因为f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递增函数，
于是有f(a)＞f(
1
b
)．      ①
同理有f(b)＞f(
1
a
)．      ②
由①+②得f(a)+f(b)＞f(
1
a
)+f(
1
b
)．
故，命题“设a，b∈R+，若ab＞1，则f(a)+f(b)＞f(
1
a
)+f(
1
b
)”是真命题．
请针对以上阅读材料中的f（x），解答以下问题：
（1）试用命题的等价性证明：“设a，b∈R+，若f(a)+f(b)＞f(
1
a
)+f(
1
b
)，则：ab＞1”是真命题；
（2）解关于x的不等式f（ax-1）+f（2x）＞f（a1-x）+f（2-x）（其中a＞0）．
各项均为正数的数列{an}，其前n项和为Sn，且满足a1＞1，6Sn=an2+3an+2．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}前n项和为Tn，且满足an+1Tn=anTn+1-9n2-3n+2．问b1为何值时，数列{bn}为等差数列；
（Ⅲ） 求证：
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
＞
2
3
(
3n+2
-
2
)．
已知A，B，C，D，E为抛物线y=
1
4
x2上不同的五个点，焦点为F，且
FA
+
FB
+
FC
+
FD
+
FE
=
0
，则|
FA
|+|
FB
|+|
FC
|+|
FD
|+|
FE
|=
 
．
如图，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a．
（1）求A′B和B′C的夹角；
（2）求证：A′B⊥AC′．
已知y=sinxcosx+sin2x可化为
 
：
①
2
2
sin（2x-
π
4
）+
1
2
；
②
2
2
sin（2x+
π
4
）-
1
2
；
③sin（2x-
π
4
）+
1
2
；
④2sin（2x+
3π
4
）+1．
一个盒中有5个球，其中红球1个，黑球2个，白球2个，现从中任取2个球，求下列事件的概率：
（1）求取出2个球是不同颜色的概率；
（2）恰有两个黑球的概率；
（3）至少有一个黑球的概率．
下列四组中f（x），g（x）表同一函数的是（　　）
A、f(x)=x，g(x)=(
x
)2
B、f（x）=x，g（x）=
3x3
C、f(x)=1，g(x)=
x
x
D、f（x）=x，g（x）=|x|
在Rt△ABC中，AB=AC=3，M，N是斜边BC上的两个三等分点，则
AM
•
AN
的值为
 
．

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