题目内容
已知点M是曲线y=
x3-2x2+3x+1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：
（1）斜率最小的切线方程
（2）切线l的倾斜角的α的取值范围．
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| 3 |
（1）斜率最小的切线方程
（2）切线l的倾斜角的α的取值范围．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程
专题：计算题,导数的概念及应用
分析：（1）求导函数，进行配方，可得斜率最小值，从而可求切线方程；
（2）由（1）得k≥-1，即tanα≥-1，利用正切函数的单调性，可得切线l的倾斜角的α的取值范围．
（2）由（1）得k≥-1，即tanα≥-1，利用正切函数的单调性，可得切线l的倾斜角的α的取值范围．
解答：
解：（1）∵y=
x3-2x2+3x+1，
∴y′=x2-4x+3=（x-2）2-1≥-1，
∴当x=2时，y′=-1，y=
，
∴斜率最小的切线方程为y-
=-（x-2），即3x+3y-11=0；
（2）由（1）得k≥-1，
∴tanα≥-1，
∴α∈[0，
）∪[
，π），
∴切线l的倾斜角的α的取值范围是[0，
）∪[
，π）．
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| 3 |
∴y′=x2-4x+3=（x-2）2-1≥-1，
∴当x=2时，y′=-1，y=
| 5 |
| 3 |
∴斜率最小的切线方程为y-
| 5 |
| 3 |
（2）由（1）得k≥-1，
∴tanα≥-1，
∴α∈[0，
| π |
| 2 |
| 3π |
| 4 |
∴切线l的倾斜角的α的取值范围是[0，
| π |
| 2 |
| 3π |
| 4 |
点评：本题考查导数的几何意义，考查切线方程，考查正切函数的单调性，正确求导是关键．
练习册系列答案
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