Question

若函数y=f（x）满足f（x-1）=f（-x-1），则函数f（x）的对称轴是

 

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Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：将问题化归为点之间对称问题，然后判断对称轴，即对于函数y=f（t），当自变量取t=x-1，及t=-x-1时，它们的函数值相等，当t变化时，这两点中点的横坐标始终是

x-1+(-x-1)

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=-1，且函数值即纵坐标始终相等，所以该函数对称轴为x=-1．

解答： 解：
对于函数y=f（t），
由题意令y₀=f（x-1）=f（-x-1）恒成立，
即当t=x-1，及t=-x-1时，它们的函数值始终相等；
而（x-1，y₀）与（-x-1，y₀）的中点为（-1，y₀），
即点（x-1，y₀）与点（-x-1，y₀）关于点（-1，y₀）对称，
当x任意变化时，始终有对称中心的横坐标为-1不变，
即该函数y=f（t）关于直线x=-1对称，
所以函数y=f（x）的对称轴为x=-1．
故答案为x=-1．

点评：研究函数的对称性，最终要转化为点之间的对称，这是研究此类问题的通法，此题的概念性也很强，要注意体会．