Question

设α，β为函数h（x）=2x²-mx-2的两个零点，m∈R且α＜β，函数f（x）=

4x-m

x2+1

（1）求的f（α）•f（β）值；
（2）判断f（x）在区间[α，β]上的单调性并用函数单调性定义证明；
（3）是否存在实数m，使得函数f（x）在[α，β]的最大值与最小值之差最小？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,函数的零点,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用

分析：（1）结合韦达定理用m把α，β的和、乘积表示出来，代入所求化简即可；
（2）利用定义进行证明，在判断结果的符号时，要适当结合第一问m与α，β间的关系，将m用α，β替换，根据α，β与x₁，x₂的大小关系进行化简判断符号．
（3）先假设存在，根据已知构造出取最值时的等式，只要取等号的条件存在，即存在．

解答： 解：（1）由题意得

α+β= m 2 αβ=-1

，
故f(α)•f(β)=

4α-m

α2+1

×

4β-m

β2+1

=

16αβ-4m(α+β)+m2

(αβ)2+(α+β)2-2αβ+1

=-4．
（2）?x₁，x₂∈[α，β]，x₁＜x₂，可得
f(x1)-f(x2)=

(x1-x2)[4x1x2-4-m(x1+x2)]

(x12+1)(x22+1)

，
因为（x₁-α）（x₂-β）≤0，（x₁-β）（x₂-α）＜0，两式相加得2x₁x₂-（α+β）（x₁+x₂）+2αβ＜0；
又因为α+β=

m

2

，αβ=-1，∴（x₂-x₁）[4x₁x₂-4-m（x₁+x₂）]＜0．
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，所以函数f（x）在[α，β]上为增函数．
（3）函数在[α，β]上为增函数，所以f(x)max-f(x)min=f(α)-f(β)=f(β)+

4

f(β)

≥4．
当且仅当f(β)=

4

f(β)

时，等号成立，此时f（β）=2，即

4β-m

β2+1

=2，2β2-mβ-2=0．
结合α+β=

m

2

，αβ=-1可得m=0．
综上可得，存在实数m=0满足题意．

点评：本题综合考查了函数的零点与方程的根之间的关系，即利用函数的观点解决方程的问题，或利用方程思想来解决函数问题．属于综合题，有一定难度．