Question

【题目】已知函数 ，则方程 （为正实数）的实数根最多有_____个

Answer 1

【答案】6

【解析】.

,, 单调递增；

,, 单调递减；

,, 单调递增.

.

由g[f(x)]a=0(a>0)得g[f(x)]=a,(a>0)

设t=f(x),则g(t)=a,(a>0)

由y=g(t)的图象知，

①当0<a<1时,方程g(t)=a有两个根4<t1<3,或3<t2<2，

由t=f(x)的图象知,当4<t1<3时,t=f(x)有1个根，

当3<t2<2时,t=f(x)有3个根，

此时方程g[f(x)]a=0(a>0)有4个根，

②当a=1时,方程g(t)=a有两个根t1=3,或t2=,

由t=f(x)的图象知,当t1=3时,t=f(x)有2个根，

当t2=时,t=f(x)有3个根，

此时方程g[f(x)]a=0(a>0)有5个根，

③当时,方程g(t)=a有两个根0<t1<,或<t2<1，

由t=f(x)的图象知,当0<t1<时,t=f(x)有3个根，

当<t2<1时,t=f(x)有3个根，

此时方程g[f(x)]a=0(a>0)有3+3=6个根，

④当a=时,方程g(t)=a有两个根t1=0,或t2=1，

由t=f(x)的图象知,当t1=0时,t=f(x)有3个根，

当t2=1时,t=f(x)有2个根，

此时方程g[f(x)]a=0(a>0)有3+2=5个根

⑤当a>时,方程g(t)=a有1个根t1>1，

由t=f(x)的图象知,当t1>1时,t=f(x)有1个根，

此时方程g[f(x)]a=0(a>0)有1个根，

综上方程g[f(x)]a=0(a>0)的实根最多有6个根，

答案为6.